对称性就是不变性

                                      ——解读2008年诺贝尔物理学奖之（二）

　

      自然界里有很多事物会给我们一种美的感觉。如冬天的雪花、蜜蜂的蜂房、球星的天穹、斑斓的蝴蝶等会给于我们一种赏心悦目的对称美。人类在感受自然界对称美的同时，也创造了许多人工的对称美。著名的敦煌壁画、古代的宫殿建筑、民间的窗格图案以及现代的建筑设计、衣物装饰等都在不同程度上带给我们对称的美感。

    图1 放大了的雪花

     图2 花丛中的蝴蝶

　　 图3 左右对称的梵蒂冈圣彼得广场

    几何图形的对称美，来自它们的规则与和谐。在几何学中，如果一个图形对于中心点（或中心线、中心面）左右相对相称，我们则说这个图形是左右对称（或两边对称）的。例如，对于一个平面图形来说，如果存在一条使图形的左右（或上下）两部分完全相同的中心线，那末这个平面图形就是左右（或上下）对称的。等腰三角形、长方形都属于左右对称的图形。

    左右对称的图形有这样一个特点，那就是把这个图形围绕它的中心点（或中心线、中心面）旋转180��������后得到的新图形与未旋转的图形绝无二致，也就是说，这样的图形在围绕它的中心线旋转180��������后整体上没有变化。反过来可以说，一个图形，只要它在围绕中心线旋转180��������后整体上保持不变，那末它必定是左右对称的。

由此可见，“对称”和“不变”这两个似乎完全不同的概念，在描述几何图形的上述特征时有着同样的意义。其实，还可以进一步认为，是“不变”决定了“对称”。正是因为一个图形在它围绕中心线旋转180��������后整体上保持不变，它才具有左右对称。

    推而广之，凡是一个图形经过旋转、交换、平移等操作后保持不变的，它就是对称的。无限长的直线在平移后依然是无限长直线，它是平移对称的；一个五角星，绕其中心轴（垂直于五角星所在平面）旋转72��������后，五角星的图形没有变化，它是旋转72��������对称的；一个球体，围绕着球心无论怎样旋转，它的图形始终是球形，它是球对称的；一个长方形，把它沿中心线分成左右两部分，尔后让这两部分左右交换，交换后图形没有变化，它是空间反演对称（或称为左右交换对称）的。

    总之，“对称”和“不变”在这里完全等价：图形的对称性是由对此图形进行某种操作下的不变性规定的。对称性就是不变性。

   同一个图形，对它进行不同的操作，便具有不同的对称。对于一个图形，如果存在很多种不同的操作都能使它保持（图形）不变，那末它便具有很多种对称。如一个长方形，就存在三种操作：沿垂直方向的中心线旋转180��������、沿水平方向的中心线旋转180��������以及沿垂直于长方形所在平面的中心线旋转180��������，在这三种操作下，图形都保持不变。对于一个正方形来说，它有着比长方形更多的使图形保持不变的操作，如正方形围绕它的对角线旋转180��������保持图形不变，围绕沿垂直于正方形平面的中心线旋转90��������和180��������图形都不变。因此，正方形的对称程度要高于长方形。在几何图形中，球体绕其中心点（球心）的对称程度最高。因为球体绕球心任意角度旋转都保持其图形不变。球体的这种空间转动不变性给出的对称叫做球对称。